TWIJFELS EN NIEUWE HOOP

Niet-euclidische meetkunde.
Van de door Euclides aangehaalde postulaten was er één zo onvoorzichtig dat zelfs de eerste discipelen van de grote wiskundige het als een zwak punt in het systeem van beginselen beschouwden. Het betreffende axioma stelt dat door een punt dat buiten een bepaalde rechte lijn ligt, slechts één rechte lijn evenwijdig aan een bepaalde rechte lijn kan worden getrokken. De meeste meetkundigen waren van mening dat het parallelle axioma kon worden bewezen met behulp van andere axioma’s en dat Euclides de parallelle bewering als een postulaat formuleerde, simpelweg omdat hij niet met zo’n bewijs kon komen. Maar terwijl de beste wiskundigen probeerden het parallelle probleem op te lossen, slaagde geen van hen erin Euclides te overtreffen. Eindelijk, in de tweede helft van de 18e eeuw. Er werden pogingen gedaan om Euclides postulaat van parallel en tegenstrijdig te bewijzen. Aangenomen werd dat het parallelle axioma onjuist is. A priori zou Euclides ‘postulaat in twee gevallen onwaar kunnen blijken te zijn: als het onmogelijk is om een ​​enkele parallel te trekken door een punt buiten de gegeven rechte lijn; of als er meerdere parallelle erdoorheen getrokken kunnen worden. Het bleek dat de eerste mogelijkheid a priori door andere axioma’s wordt uitgesloten. Nadat ze een nieuw axioma hadden aangenomen in plaats van het traditionele parallelle axioma (dat door een punt buiten een bepaalde rechte lijn, meerdere rechte lijnen parallel aan een bepaalde rechte lijn kunnen worden getrokken), probeerden wiskundigen er een verklaring uit af te leiden die in tegenspraak is met andere axioma’s, maar dat mislukte: hoezeer ze ook probeerden consequenties uit Van het ‘anti-euclidische’ of ‘niet-euclidische’ axioma kwam de tegenstrijdigheid niet naar voren. Ten slotte, onafhankelijk van elkaar, realiseerden NI Lobatsjevski (1793-1856) en J. Boyai (1802-1860) zich dat Euclides ‘postulaat van parallellen niet te bewijzen was, of, met andere woorden, er zou geen tegenstrijdigheid zijn in “niet-Euclidische meetkunde”.

Met de komst van de niet-Euclidische meetkunde ontstonden er onmiddellijk verschillende filosofische problemen. Sinds de aanspraak op de a priori noodzaak van axioma’s is verdwenen, is de enige manier om hun ‘waarheid’ te controleren gebleven – een experimentele. Maar, zoals Poincaré (1854–1912) later opmerkte, er zijn zoveel fysieke aannames verborgen in de beschrijving van elk fenomeen dat geen enkel experiment een overtuigend bewijs kan leveren van de waarheid of onwaarheid van een wiskundig axioma. Bovendien, zelfs als we aannemen dat onze wereld “niet-Euclidisch” is, volgt hieruit dat alle Euclidische meetkunde onjuist is? Voor zover bekend heeft geen wiskundige ooit een dergelijke hypothese serieus genomen. Intuïtie dicteerde dat zowel Euclidische als niet-Euclidische meetkunde voorbeelden zijn van volwaardige wiskunde.

speedcube kopen